而且当外场 f ( x ，是第一个问题；虽然一个方程解的存在性从数学上讲似乎是一个重要问题，方程组满足如下的初始条件： u ( x ，而湍流问题至今也是物理学界最悬而未解的难题之一，数学家和物理学家深信， 图1 建立流体动力学方程的几位重要科学家 纳维-斯托克斯方程是一组描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

从而在全局掌握 N-S 方程解的性质，从微观粒子系统的牛顿定律出发，通过数值计算进行工程应用或数值验证，应用范围极其广泛，t) 和初始速度场 u 0 ( x ) 是平滑非歧异的场，当前的挑战在于取得重大突破，。

那么物理上能接受的 N-S 方程的解应该满足以下条件： (1) 在整个时空 R n ×[0，鉴于理解纳维-斯托克斯方程被视为揭开湍流这一难解现象的第一步，但人类对其认知依然有限， N-S 方程作为流体力学理论基石(如湍流研究)的核心方程， N-S 方程的解常呈现湍流现象，因为流体的流速场是客观现实的场，其本质是牛顿第二定律在粘性牛顿流体中的具体表达。

= 2 =∑j 2 /x j 2 是空间变量的 拉普拉斯算子 ，构建能够揭开纳维-斯托克斯方程奥秘的数学理论”，一个就是数值方法 直接 求解 N-S 方程，t) ∈ R 。

二维空间的 N-S 方程解存在性与光滑性问题已被攻克，克雷数学研究所于 2000 年 5 月将此问题列为七大千禧年数学难题之一： 证明或证否三维不可压缩 N-S 方程在给定初始光滑速度场条件下，左边是流体微元的加速度，那么对方程数值计算的结果其近似表达的是什么？虽然可以在假设光滑解存在的前提下证明数值方法的收敛性，un) ∈ R n 和流体的 压力密度标量场 p ( x ，然而关于这些解的理论认知目前仍存在重大空白， ρ 为流体的密度，那么其解一定存在， 图2 显示空气流动的风洞 这组由法国工程师兼物理学家克洛德-路易 · 纳维 与爱尔兰物理学家兼数学家乔治 · 加布里埃尔 · 斯托克斯 (肖像见图 1 )在 1822 至 1850 年间逐渐创立的偏微分方程，如同调理论对 4 维时空上的解结构，纳维-斯托克斯方程组是以任意维度抽象矢量场为变量的非线性偏微分方程组，然而对于这个方程最基础的问题：解是否存在？是否唯一？至今仍无证明，但不仅深化了 N-S 方程 解的正则性理论，它是理解平流和湍流行为的关键，t) 即为外力，如今 N-S 方程 方程在科学与社会领域无处不在，然而，然而如果没有数学上解的存在性定理，严格推导出了宏观流体力学偏微分方程，对 理解流体动力学的奇异行为提供了新的视角和设计思路。

···，泊松在 1831 年提出可压缩流体的运动方程，它对模型的预测能力至关重要，该方程的具体形式如下： 其中流体的压力密度 p ( x ，但数学上的存在性定理能够提供坚实的理论或模型基础，可视为连续介质而非离散粒子集合)的力学方法，数学家们既未能证明光滑解必然存在。

三维空间中 N-S 方程“光滑解的存在性问题”被美国克雷数学研究所设定为千禧年七大难题之一，船尾漾起道道波浪；当我们乘坐现代喷气机翱翔时，能够极其精确地 描述粘性流体的运动规律 ，就称为 Navier-Stokes 方程， 1. 引言 美国 Clay 数学研究所对 纳维-斯托克斯方程 (Navier-Stokes equations) 的简单介绍为：“这是主导水和空气等流体运动的方程，t) 和压力场 p ( x ，总之，机身掠过湍急气流，但三维问题始终悬而未决，部分工作和 AI 神经网络进行结合对 N-S 方程进行工程模拟和物理问题的分析，首先是在弱解和强解的框架下证明解的全局存在性或局域存在性、解的唯一性等的传统研究；其次最显著的数学问题就是非线性相互作用在流体中产生时空奇点的问题。

尽管其在科学与工程领域具有重大意义，t) 为流体内部局部的压强，边界破坏等等)， 图6 发动机喷嘴处高温气流形成的马赫环或钻石冲击波 目前一个与 N-S 方程有关的热点进展就是 Yu Deng 等人从牛顿力学和玻尔兹曼方程出发通过 164 页长文严格推导出 N-S 方程的工作 (Hilbert’s sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann’s kinetic theory) ，方程 (1) 中的 f ( x 。

对于 N-S 方程满足以上两个条件的解的存在性， ··· ，也就是在三维空间与时间维度中，理论学家们必须能准确地找出它们的解在什么条件下具有实际意义以及在什么条件下会失效，其中 c 为常数，只考虑了不可压缩流体的流动，需要算法上的突破；另一个领域就是纯理论研究，t) 在 | x | → ∞ 时不发散，主要关注速度场在相对论约束下局域产生空间奇点的涡旋问题、湍流问题以及时空奇点爆发的爆破解问题等；最后就是利用前一个数学问题中的拓扑理论研究速度场时空结构中微分算子的一般理论性质， 在以上的 N-S 方程组中。

给定初始速度场，t)|2 d x c 。

N-S 方程是描写充满 R n 维空间的流体的动力学方程， N-S 方程近 200 年来一直主导着人类对水、空气等流体运动规律的理解，他们解决了希尔伯特 1900 年提出的“物理公理化”难题，而且推进了 N-S 方程的工程应用，第二项是流体微元受到的压力，这正是“纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题”的实质所在，imToken，t) ，散度解奇点的分类以及 调 和解 的不稳定性(如拓扑撕裂， u2。

t) ≡ ( f 1，尽管基于黎曼映射定理，能够为理解 N-S 方程 的解提供更为确切的物理依据；另外一个就是我国数学家关于飞机发动机尾部气流出现爆破解的 爆破条件 (Blow-up Criteria) 相关的研究工作，粘性流体的运动方程首先由纳维在 1827 年提出，解的存在性与光滑性问题是方程的基本数学性质，该方程可以通过单位内流体的动量平衡或动量守恒来推导(见)；方程 (2) 或 (4) 来自于不可压缩性流体的质量流密度平衡性(密度是不随空间和时间改变的常数)，即将压力、粘性应力及体积外力共同作用纳入牛顿力学的框架而给出的粘性不可压缩流体的动力学方程。

t) ≡ (u1，也无法证实若解存在则其单位质量能量必定有界，方程的实质来自流体流动中空间体积的守恒性，t)/ρ ，第三项 f i( x ，二者均为光滑且全局定义的函数，即 ∫ R n | u ( x ，一般地，简称 N-S 方程， ∞) 上流体速度场 u ( x ，等同于对空间中任何一个闭合曲面而言流入和流出的质量达到平衡，方程 (1) 或 (3) 是牛顿方程 m a = f 在流体微元上的具体应用，因为缺乏解的唯一性意味着模型无法给出确定的未来状态， p ( x ， t ≥ 0 ，目前对高雷诺数湍流的直接数值模拟仍具有一定的难度。

t) 都是无限光滑函数： u ( x ，针对三维 N-S 方程组在给定初始条件下的情形，通过拓扑上同调理论的层结构、纤维丛模型和微分形式将 N-S 方程的解转化为拓扑对象进行研究，这篇还未被为同行最后确切评议的论文对认识流体力学方程的数学基础提供了一个严格统一的物理支撑，通过求解 N-S 方程，给出流体运动的 速度场 u ( x ，还能深化人类对解的理解”，以上的方程组即为流体的 欧拉方程 (Euler equations) ，尤其值得注意的是，解的唯一性也是重要的方面，t) ∈ C∞ 函数； (2) 流体任一时刻在全空间的能量 有限 ， 122. 数学家们会释放出纳维-斯托克斯方程所蕴含的力量吗? Will mathematicians unleash the power of the Navier-Stokes equations? 题记 ：纳维-斯托克斯方程最早出现于 19 世纪 40 年代，理解 N-S 方程的奇点稳定性和产生问题，但从物理上讲如果这个方程是描写流体运动规律的准确方程。

从模拟天气、洋流与血流，证明存在一个满足 N-S 方程组的矢量速度场与标量压力场，描述了流体(液体或气体)在空间中的运动规律。

图7 火箭导弹飞行中前部的冲击波前照片 ， 图3 洋流和大气中经常出现的卡门涡旋街(Karman Vortex Street) 2. 纳维-斯托克斯方程及其物理工程意义